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              物理專業論文:自動微分轉換系統及其應用

              作者:兼職工作網 時間:2020-11-22
              摘要 自動微分轉換系統(DFT)由LASG和LSEC聯合研制開發,目前已擁有成熟的版本。本文對DFT系統的功能、特色及其基本應用作了全面的介紹,并給出了一些頗具說服力的數值試驗結果。同時,本文提出了統計準確率評價的概念,這對評價一類自動微分工具及其微分模式代碼的可靠性與有效性提供了一種客觀的尺度。
              摘要 自動微分轉換系統(DFT)由LASG和LSEC聯合研制開發,目前已擁有成熟的版本。本文對DFT系統的功能、特色及其基本應用作了全面的介紹,并給出了一些頗具說服力的數值試驗結果。同時,本文提出了統計準確率評價的概念,這對評價一類自動微分工具及其微分模式代碼的可靠性與有效性提供了一種客觀的尺度。最后,本文還詳細討論了運用切線性模式求解雅可比矩陣的問題,給出了求解初始輸入矩陣的有效算法。 關鍵詞 自動微分 切線性模式 數據相關分析 統計準確率 1.引言 計算微分大致經歷了從商微分,符號微分,手寫代碼到自動微分幾個階段。與其它幾種微分方法相比,自動微分具有代碼簡練、計算精度高及投入人力少等優點。自動微分實現的基本出發點是:一個數據相對獨立的程序對象(模式、過程、程序段、數值語句乃至數值表達式),無論多么復雜,總可以分解為一系列有限數目的基本函數(如sin、exp、log)和基本運算操作(加、減、乘、除、乘方)的有序復合;對所有這些基本函數及基本運算操作,重復使用鏈式求導法則,將得到的中間結果自上而下地做正向積分就可以建立起對應的切線性模式,而自下而上地做反向積分就可以建立起對應的伴隨模式[1]。基于自動微分方法得到的切線性模式和伴隨模式,在變分資料同化[2]、系統建模與參數辨識[3]、參數的敏感性分析[4]、非線性最優化以及數值模式的可預測性分析[5]等問題中有著十分廣泛的應用。
              迄今為止,已有數十所大學和研究所各自開發了能夠用于求解切線性模式的自動微分系統,比較典型的有TAMC系統[6]、ADJIFOR系統[7] 和ODYSSEE系統[8]。在一些特定的運用中,它們都是比較成功的,但在通用性和復雜問題的處理效率上還存在許多不足。通常,自動生成切線性模式的關鍵難題在于對象自身的強相關性,這給系統全局分析(如數據IO相關分析和數據依賴相關分析)和微分代碼的整體優化都帶來了很多困難。同時,對于程序對象不可導處的準確識別和微分處理,至今仍還沒有一個統一而有效的算法。另外,最優或有效求解稀疏雅可比矩陣一直是衡量一個自動微分系統有效性的重要尺度。
              統計準確率被我們視為評價一類自動微分工具及其微分模式代碼可靠性與有效性的重要尺度。其基本假設是:如果對于定義域空間內隨機抽樣獲得的至多有限個n維初始場(或網格點),微分模式輸出的差分和微分逼近是成功的;那么對于定義域空間內所有可能初始場(或網格點),微分模式輸出的差分和微分逼近都是成功的。微分模式統計準確率評價的具體方法是:在所有隨機抽樣得到的初始場(或網格點)附近,當輸入擾動逐漸趨向于機器有效精度所能表示的最小正值時,模式輸出的差分和微分之間應該有足夠精度有效位數上的逼近。
              DFT系統具有許多優點,它能夠完全接受用FORTRAN 77語言編寫的源代碼,微分代碼結構清晰,其微分處理能力與問題和對象的規模及復雜性無關。它基于YACC實現,具有很強的可擴展性。DFT系統具有四個重要特色。它通過對象全局依賴相關分析,準確求解雅可比矩陣的稀疏結構,自動計算有效初始輸入矩陣,從而可以用較小的代價求得整個雅可比矩陣。同時,它可以自動生成客觀評價微分模式效率與可靠性的測試程序,對奇異函數做等價微分處理,并采用二元歸約的方法,在語句級層次上實現微分代碼優化。 2.系統概況

              DFT系統主要由兩部分組成:微分代碼轉換和微分代碼評價,圖2.1。微分代碼轉換部分接受用戶輸入指令并自動分析對象模式,生成切線性模式代碼及其相關測試代碼,后者直接構成微分代碼評價系統的主體。微分代碼評價是DFT系統的一個重要特色。DFT系統的開發小組認為,一個微分模式如果在可靠性、時間和存儲效率上沒有得到充分的驗證,至少對實際應用而言,它將是毫無意義的。
              原模式 切線性模式
              統計評價結果
              切線性模式
              評價函數集 圖2.2 微分代碼轉換
              微分代碼轉換部分從功能上分為四個部分:詞法分析,語義分析,對象復雜性及數據相關分析和微分代碼轉換。對于一組具有復雜數據相關的程序模式對象,通常需要系統運行兩遍才能得到有效而可靠的微分代碼。這主要有兩方面的考慮:其一,根據對象的復雜性(如最大語句長度、最大變量維數、子過程或函數數目、子過程或函數內最大變量數目等對象特征)選擇合適的系統參數以求最優的運行代價;其二,模式內各子過程或函數之間以及一個子過程或函數內往往具有很強的數據相關性,需要事先保存對象的相關信息并且在考慮當前對象的屬性之前必須做上下文相關分析。 圖2.3 PERIGEE源程序代碼 圖2.4 DFT系統生成的切線性代碼 2.2 微分代碼評價 通常,評價一個編譯系統的性能有很多方面,如處理速度、結果代碼可靠性及質量、出錯診斷、可擴展和可維護性等。對于一類自動微分系統來說,由于軟件開發人力的局限以及對象模式的復雜多樣性,通過自動轉換得到的微分模式并非常常是有效而可靠的(即無論是在數學意義上還是在程序邏輯上應與期待的理想結果一致),因而在微分模式被投入實際應用前,往往需要投入一定的人力來對其做嚴格的分析測試。
              對切線性模式做統計評價測試的主要內容可以簡單敘述為:在網格化的模式定義域空間內,選擇所有可能的網格點形成微分模式計算的初始場;在不同的網格點附近,隨機選取至少 個線性無關的初始擾動,對每個擾動輸入分別進行網格點逼近,統計考察模式輸出差分和微分在有效位數上的逼近程度。圖2.5描述了整個測試過程,它包含網格點數據隨機采樣(1)和網格點數據逼近(2)兩級循環。 圖2.5 切線性模式代碼的測試過程 3.系統主要特色 DFT系統并不是一個完整的FORTRAN編譯器,但它幾乎可以接受和處理所有FORTRAN 77編寫的源模式代碼,并且可以很方便地擴展并接受FORTRAN 90編寫的源模式代碼。本節將著重介紹DFT系統(版本3.0)的以下幾個重要特色。 3.1 結構化的微分實現 DFT系統采用標準化的代碼實現,切線性模式的擾動變量和基態值變量、微分計算語句和基態值計算語句總是成對出現,并具有清晰的程序結構。微分代碼保持了原模式本身的結構和風格(如并行和向量特性、數據精度等),即語句到語句、結構到結構的微分實現。在奇異點或不可導處,DFT系統對微分擾動采取簡單的清零處理,實踐證明這對抑制擾動計算溢出具有重要意義,但并不影響評價測試結果。 3.2 全局數據相關分析 DFT系統具有較強的數據相關分析能力,它包括全局數據IO相關分析、全局數據依賴相關分析、全局過程相關分析以及數據迭代相關分析幾個不同方面。數據依賴相關與數據IO相關關系密切,但又存在根本不同。前者強調每個變量在數學關系上的依賴性;而后者描述了一個對象的輸入輸出特性,且具有相對性,即任何一個變量參數,無論它是獨立變量還是依賴變量,在數學意義上都可等價為一個既是輸入又是輸出的參數來處理。
              DFT系統記錄所有過程參數的IO屬性表,通過深度遞歸相關計算,準確計算每個過程參數的最終IO屬性。DFT系統通過對數據相關矩陣做模二和及自乘迭代計算(An 1= An
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